科学思想的新天地

数学的逻辑精华

作者[新新太阳] 发表于[2006/9/6 15:55:20]
标签(TAG): 数学的逻辑
数学存在的基础是什么?这个问题很难回答,也很难解释,数学和现实之间有关系吗?这也是令人困扰的问题。
数学逻辑的存在和运算的法则和物质的存在无关,只是人的认识和我们理解和物质世界有关,一个单纯的数学逻辑结构很难被人理解,而数学逻辑的发展也和人们的认识过程相关。
人是由猿类演变过来,自然生存的猿来可以区别简单的数量,当然是区别个位数的具体的物体,比如香蕉、苹果之类的实物。对于猿类来说,可能没有数字的概念,也没有数学的逻辑,只有对具体物体的感官认识。
人在学习数学的过程中也和人类的进化过程类似。在认识数的过程中,我们也是先把数字和实物放在一起,然后用具体的图来代表具体的物体,再把数字单独抽出,形成数学的运算,然后的过程是每一种运算法则和运算结果都和具体的物质联系起来,这样才能理解数学的逻辑,数学的发展过程和人的学习过程类似。
数学的逻辑是可以独立于物质世界的,要认识这一点并不容易,非欧几何的发展过程更证明了这一点,在当时有很多数学家认识到了非欧几何的存在,包括高斯,但在当时非欧几何和物质世界没有任何联系,仅仅是在逻辑上证明有这样的空间结构,所以非欧几何一出现就受到几乎所有数学家的反对,只有后来物理学的发展使得四维空间得到应用,这样人们才对非欧几何有所理解。
人对数字的认识是和运算法则相关,人最先认识的是自然数,然后是零和负数,当只有加法时,自然数就够了,但引入加法的逆运算减法时,就需要零和负数,在加减法的运算规则下,整数就可以满足,将整数作为一个集合,在加减法运算的规则下,整数集合是完备的,整数的加减运算的结果在整数集合内。
除了加减运算,还能引人乘法和除法,整数相乘的结果是整数,但整数的除法则超出了整数范围,这时将数集合扩大到分数或有理数,这样加减乘除的运算在有理数的集合内是完备的,在引入N次方的运算和开方的运算规则,开方的运算则又超出了有理数和实数的范围,我们为了解决这问题,引入了实数和虚数的概念,这样运算才是完备的。我们对数集的认识是和我们对周围事物的认识有关,数集的选择和完备性是和运算规则有关。
将单个数的运算推广到一组数的运算,得到更广阔的范围,保留了数的运算过程中的集合、单位元素、逆元素,这样可以将几何用代数的方法来研究,同时也包含更多的内容。建立一个集合,然后建立集合内的运算规则,这就是数学的最基础逻辑,集合和运算规则是不能证明,只能作为假设提出,所有的其它科学理论也是建立在不能被证明的假设的基础上,数学也是建立在不能被证明的假设基础上。
几何学是和代数独立发展的数学理论,我们最先接触的是欧几里德几何,因为我们生活的是三维空间,自欧式集合诞生2000年的时间,没有人怀疑这种三维的空间结构,欧式几何是建立在公理体系之上,非欧几何也是建立在对非欧几何的其中一个不能证明的公理改进的结果,随着数学理论的发展,代数和几何完全可以建立在相同的基础上。
几何完全可以建立在代数的运算基础上,N维空间就是有一组N个量表示的一组数的运算,在这N个量的运算规则,我们可以将变量分成标量、矢量、旋量、张量,这些量的运算要比单独的数的运算复杂的多,但是建立在数的运算规则之下。
在三维空间中,我们知道一维的数可以代表线段,二维可以表示面积,三维表示体积,维数可以是任意的,整数的空间可以是N维,在N维空间中,N维表示N维体积,N-1到2维称为超曲面,同样维数可以是非整数,就是分形空间,这样的空间用来描述局部和整体相似的图形。
数学的逻辑完全独立于物质世界,可以和物质世界毫不相干,但逻辑结构的简单性是指假设的多少,假设越多,我们就称逻辑越复杂,假设越少,逻辑结构也越简单,将数学的逻辑和物质的产生结合在一起的最简单的逻辑结构就是宇宙的逻辑。物质世界只是数学逻辑的最简单的一部份,最完美的一部分,也是最复杂的一部分。数学的逻辑运算可以有很多种,几何的维数也有无穷多选择;但几何空间的选择不是由上帝所决定,而是数学运算的完备性和稳定性所决定,只有一种空间和我们宇宙的演化一致。
宇宙也许就是由这种数学逻辑所产生,但由于数学的公理是无法证明的,而数学的逻辑基础和运算规则也是无法证明的,所以宇宙的产生是无法得知的,我们最多是可以知道宇宙的规则是和其中的一种数学规则相符合。

回复:数学的逻辑

作者[guoyanghuawu(游客)] 发表于[2013/3/1 13:31:51]
好文,学习了,一直对数学很感兴趣,对数学的本源与逻辑的关系很感兴趣。

回复:数学的逻辑

作者[guoyanghuawu(游客)] 发表于[2012/3/12 10:16:13]
good

回复:数学的逻辑

作者[john(游客)] 发表于[2008/1/15 15:59:07]
nothing

Design by zhangbaozz @ Powered by GKong.com. GKong All Rights Reserved

中华工控网 | 联系我们 | 工控论坛首页 | 工控博客首页 | 博客注册 | 博客登陆

工控博客管理联系邮箱:工控博客服务邮箱

中华工控网 © Copyright 2013. All rights reserved.